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    　一、知识点

　　1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

　　如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

　　2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

　　例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

　　3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

　　例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

　　4、容斥原理(包含与排除原理)：

　　(用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3)

　　原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：

　　第一步：先求出?A?+?B?(或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起);

　　第二步：减去?A∩B?(即“排除”加了两次的元素)

　　总结为公式：|A∪B|=?A?+?B?-?A∩B?

　　原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：

　　第一步：先求?A?+?B?+?C?;

　　第二步：减去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?;

　　第三步：再加上?A∩B∩C?。

　　即有以下公式：

　　?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?B∩C?- |C∩A|+|A∩B∩C?

　　二、例题分析：

　　例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

　　分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求?A∪B?。

　　解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10

　　B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6

　　A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3

　　所以?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

　　解2：本题可直观地用图示法解答

　　如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

　　例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?

　　解：设A={数学成绩90分以上的学生}

　　B={语文成绩90分以上的学生}

　　那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

　　?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38

　　现要求两科均在90分以上的学生人数，即求?A∩B?，由容斥原理得

　　?A∩B?=?A?+?B?-?A∪B?=25+21-38=8

　　点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

　　例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?

　　解：设A={打篮球的同学};B={跑步的同学}

　　则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}

　　A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

　　应用容斥原理?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=39+37-25=51(人)

　　例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个?

　　分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。

　　解：设A={100以内的5的倍数}

　　B={100以内的7的倍数}

　　A∩B={100以内的35的倍数}

　　A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}

　　则有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2

　　由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=20+14-2=32

　　因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68(个)

　　点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。

　　例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?

　　解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

　　由题意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18

　　?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2

　　根据容斥原理二得：

　　?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?A∩C|-?B∩C|+|A∩B∩C?

　　=23+27+18-(4+5+7)+2

　　=54(人)

    
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